La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números. Toda sucesión tiene una propiedad o ley de formación de sus elementos.
Ejemplos de sucesiones:
A: 2,4,6,8,... es una sucesión infinita, el primer término es 2 como ley de formación los siguientes se obtiene sumando 2 en cada cada paso. B: 0,5,4,2,9,8,6,7,3,1. Es una sucesión finita. Se trata de las cifras numéricas ordenadas alfabéticamente. C: 1,2,3,4,5,... es la sucesión infinita de los números naturales. Es la sucesión fundamental, pues nos sirve para ordenar las demás. D: 1,4,9,16,25,... es la sucesión de los cuadrados de los números naturales. E: 1,1,2,3,5,8,13,... esta se llama Sucesión de Fibonacci. El primer y segundo elementos son 1,1. Los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores. F: 4,2,1, 0'5, 0'25, ... es una sucesión infinita en que el primer elemento es el cuatro y cada uno de los siguientes se obtiene dividiendo por 2 el anterior. G: 3,3,4,6,5,4, ... es una sucesión infinita. Cada elemento es el número de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural.
Hay sucesiones numéricas de muchos tipos, dependiendo de la ley de formación. Puedes ponerte ejemplos tú mismo: primero piensa en la ley de formación y en el primer término y luego vete obteniendo otros términos. Para designar los términos de una sucesión cualquiera utilizaremos la misma letra con subíndices a1, a2, a3, a4,...,an, indicando que a1 es el primer término, a2 es el segundo, ... y an es el término de orden n -n es cualquier número natural- o término general de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 2,4,6,8,... pondremos a1=2, a2=4, a3=6, a4=8, ... , an=2n. A veces el término general de una sucesión se puede expresar en función de los términos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, en la sucesión E de Fibonacci, se verifica an = an-2+an-1. Estas sucesiones se llaman recurrentes. Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término general y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión; por ejemplo, las sucesiones B y G.
Una sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinsión no es estricta.
Así, 5, 15, 45, 135, 405,...\, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Siendo a_n\, el término en cuestión, a_1\, el primer término y r\, la razón:
a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.
Coeficiente 3a2 Grado
Parte literal
Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.
Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.
Clases de expresiones algebraicas:
1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2
2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy
3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y
4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:
1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.
3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.
2. Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios
Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
5x5+0x4+0x3 -x2 -x
12x5+0x4+3x3+3x2-3x
Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
En matemáticas, los números reales (designados por R) son aquellos que incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: \sqrt{2}, \pi.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
El lenguaje algebraico es formado por números, letras y símbolos. Los números representan cantidades conocidas, las letras puedes expresar cualquier valor. Las primeras letras del alfabeto representan valores constantes y las ultimas representan valor variables Un numero cualquiera A La suma de dos números a+b La diferencia de dos números a-b Triple de un numero 3a Coeficiente de cualquier numero x/y Cuadrado de un numero (x)2
En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.
Ejemplos de monomios son \scriptstyle 2x, x^3, 6x^5, \dots. El siguiente ejemplo describe en detalle las partes de un monomio. Si consideramos el monomio:
6x^5\,
es un monomio con coeficiente 6, variable x y exponente 5. Por tanto, el grado de este monomio es 5.
El grado de un monomio es su exponente. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene parte literal o variable, es decir, que no tiene variables o letras que lo acompañen. Algunos ejemplos:
P(x) = 2, polinomio de grado cero. P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno. P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como \scriptstyle -\infty. En particular los números (o elementos del anillo \scriptstyle (A,+,\cdot)) son polinomios de grado cero.
La ley de los exponentes dice que al dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.
la division entre monomio entre moniomo 1)se dividen los exponentes 2)se usa la ley de los signos 3)se usa la ley de los exponentes la ley de los signos es: + +=+ - -=+ y - += - + -=-
La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.
ResponderEliminarLa lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números.
ResponderEliminarToda sucesión tiene una propiedad o ley de formación de sus elementos.
Ejemplos de sucesiones:
A: 2,4,6,8,... es una sucesión infinita, el primer término es 2 como ley de formación los siguientes se obtiene sumando 2 en cada cada paso.
B: 0,5,4,2,9,8,6,7,3,1. Es una sucesión finita. Se trata de las cifras numéricas ordenadas alfabéticamente.
C: 1,2,3,4,5,... es la sucesión infinita de los números naturales. Es la sucesión fundamental, pues nos sirve para ordenar las demás.
D: 1,4,9,16,25,... es la sucesión de los cuadrados de los números naturales.
E: 1,1,2,3,5,8,13,... esta se llama Sucesión de Fibonacci. El primer y segundo elementos son 1,1. Los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.
F: 4,2,1, 0'5, 0'25, ... es una sucesión infinita en que el primer elemento es el cuatro y cada uno de los siguientes se obtiene dividiendo por 2 el anterior.
G: 3,3,4,6,5,4, ... es una sucesión infinita. Cada elemento es el número de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural.
Hay sucesiones numéricas de muchos tipos, dependiendo de la ley de formación. Puedes ponerte ejemplos tú mismo: primero piensa en la ley de formación y en el primer término y luego vete obteniendo otros términos.
Para designar los términos de una sucesión cualquiera utilizaremos la misma letra con subíndices a1, a2, a3, a4,...,an, indicando que a1 es el primer término, a2 es el segundo, ... y an es el término de orden n -n es cualquier número natural- o término general de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 2,4,6,8,... pondremos a1=2, a2=4, a3=6, a4=8, ... , an=2n.
A veces el término general de una sucesión se puede expresar en función de los términos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, en la sucesión E de Fibonacci, se verifica an = an-2+an-1. Estas sucesiones se llaman recurrentes.
Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término general y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión; por ejemplo, las sucesiones B y G.
Una sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinsión no es estricta.
ResponderEliminarAsí, 5, 15, 45, 135, 405,...\, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Siendo a_n\, el término en cuestión, a_1\, el primer término y r\, la razón:
a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
a_6 = {5}({3^{(6-1)}})\,
a_6 = {5}({3^5})\,
a_6 = {5}(243)\,
a_6= 1215\,
1. Expresiones algebraicas
ResponderEliminarExpresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.
Coeficiente 3a2 Grado
Parte literal
Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.
Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.
Clases de expresiones algebraicas:
1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2
2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy
3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y
4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:
1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.
3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.
2. Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios
Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
5x5+0x4+0x3 -x2 -x
12x5+0x4+3x3+3x2-3x
Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x
-4x4 2x3-x2+3x-4
0-2x3
+2x3
0+6x2
-6x2
0-8x
+8x
0-4
Esto dice Aranza Ortega
ResponderEliminarEn matemáticas, los números reales (designados por R) son aquellos que incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: \sqrt{2}, \pi.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
Esto dice Vianey Ramos
ResponderEliminarEl lenguaje algebraico es formado por números, letras y símbolos. Los números representan cantidades conocidas, las letras puedes expresar cualquier valor.
Las primeras letras del alfabeto representan valores constantes y las ultimas representan valor variables
Un numero cualquiera A
La suma de dos números a+b
La diferencia de dos números a-b
Triple de un numero 3a
Coeficiente de cualquier numero x/y
Cuadrado de un numero (x)2
En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.
ResponderEliminarEjemplos de monomios son \scriptstyle 2x, x^3, 6x^5, \dots. El siguiente ejemplo describe en detalle las partes de un monomio. Si consideramos el monomio:
6x^5\,
es un monomio con coeficiente 6, variable x y exponente 5. Por tanto, el grado de este monomio es 5.
El grado de un monomio es su exponente. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene parte literal o variable, es decir, que no tiene variables o letras que lo acompañen. Algunos ejemplos:
P(x) = 2, polinomio de grado cero.
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como \scriptstyle -\infty. En particular los números (o elementos del anillo \scriptstyle (A,+,\cdot)) son polinomios de grado cero.
La ley de los exponentes
ResponderEliminardice que al dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.
la division entre monomio entre moniomo
1)se dividen los exponentes
2)se usa la ley de los signos
3)se usa la ley de los exponentes
la ley de los signos es:
+ +=+ - -=+ y - += - + -=-
ejemplo
a7b3/a3b2= a7-3b3-2= a4b